摘要:论文有44页,还在审核之中(全文约1089字,阅读大概需要4分钟。)

几何数学公式和黑板

Gerd Altmannpixbay上发布

顾名思义,无理数就是“不讲道理”的数字。它们拥有无限的小数位,同时还缺乏显著的规律,如循环周期。

最著名和重要的无理数,诸如√2,圆周率π。

实际上,我们真正能处理的只有整数之间的四则运算。我们在现实情境(物理或工程)面对无理数时,往往都是借助它们的近似值。比如说,中国古算书《周髀算经》(约公元前2世纪)的中有“径一而周三”的记载,意即π=3。

当然,使用近似值的时候,要考虑精确度的问题——显而易见,π=3.14时就要比3更加精确,使用π参与的运算结果也更加符合实际。

从技术上说,利用分数来逼近无理数,更加容易控制精确度。古巴比伦石匾(约产于公元前1900年至1600年)清楚地记载了圆周率 = 25/8 = 3.125,而阿基米德求出了圆周率的下界和上界分别为223/71 和22/7;南北朝时期的数学家祖冲之进一步得到π=355/113。

1941年,物理学家Richard Duffin和数学家Albert Schaeffer提出了一个看似简单的问题。他们说,先不考虑分子,从自然数中选出无限多个数字作为分母,那么我们能不能通过对每个分母精挑细选出分子,使这些分数成为目标无理数的近似值呢?

就像之前所言,提及近似值的时候,要考虑到精确度。

Richard Duffin和Albert Schaeffer经过缜密分析和实验后,发现了一个现象:当你选定分母序列后,对于给定的精确度范围,我们要么可以通过精心地选择分子,使分数序列几乎可以完美地近似所有无理数(这句话怎么写都有歧义,所以要啰嗦点:不是同时近似所有无理数,是选择分子,使分数列都近似单一无理数;然后再选择分子,近似其它的无理数——如果我没有理解错误的话);要么就是,无论我们怎么选择分子,都几乎无法使分数在给定精度内近似任何一个无理数。(这里的几乎是数学上的术语,意思是存在例外,但例外在某种测度上可忽略)

或者赢家通吃,或者一无所有。

后来的数学家将之命名为Duffin-Schaeffer猜想,虽然看似简单,实则触及了自然数系统中的深刻性质,是数论中的具有里程碑意义的开放性问题。

现在,牛津大学的James Maynard)与蒙特利尔大学的Dimitris Koukoulopoulos共同撰写了44页的论文,宣称解决了Duffin-Schaeffer猜想。证明用到的思想和工具都极其复杂,甚至该领域的学者大概也要数月时间才能消化掉所有细节,这里无法细表。

如果一切顺利的话,这将是今年迄今为止,最为重要的数学成果。